1. Aufgabenstellung
Es soll eine definierte Versuchsanlage erstellt werden, welche Strömungsgeschwindigkeitsmessungen
im laminaren Bereich bis zum Umschlagpunkt zur Turbulenz ermöglicht, ebenso
die Erfassung sämtlicher Druckanteile zulässt. Sie soll einsatzfähig
sein für Profiluntersuchungen von Hindernissen, Verzweigungsproblemen,
Messung von Widerstandszahlen etc. Die Messmöglichkeit mit aller zusammenhängenden
Problematik soll optimiert werden.
2. Problembeschreibung „Ziele“
A) Zur Erzeugung eines konstanten
Luftstromes muss ein Generator entwickelt werden. Anzufangen ist mit Pressluftquelle
mit nachgeschaltetem Ausgleichsbehälter und anschließender Falschluftansaugung;
dies ist gegebenenfalls technisch zu vervollkommnen oder zum stabilisierten
Ventilator überzugehen.
B) Auswahl und Untersuchung
der optimalen Ein- und Auslaufgeometrien – optimal in Bezug auf eine möglichst
große Unterbietung der Schillerschen Anlaufformel.
C) Alle Druckanteile mit quantitativer
Fehlerangabe zyklisch messen, und zwar zwischen Minimaldrücken („Null“)
und Umschlagpunkt zur Turbulenz.
D) Die bisher verwendeten Sonden sind
zu optimieren – zunächst nur im Experimentalzustand, damit sukzessiv
gemessen werden kann, dann im Hinblick auf den bezeichneten Endzustand. Die
Methode der Hitzdrahtmessung kann sicher verbessert werden. Wenn die Linearität
zwischen Geschwindigkeit und elektrischen Signal nachzuweisen wäre, könnte
man die Eichung der Geschwindigkeit durch eine Gesamtverlustdruckmessung ersetzen.
Die Eichung hat mit den zuletzt verwendeten Verfahren nur dann Sinn, wenn die
Problematik der Größenordnung der Drucke und den zu erwartenden Fehlern
mit größter Sorgfalt und Umsicht durchgeführt und auch rationalisiert
wird, damit viele Eichungen in relativ angemessener Zeit durchgeführt werden
können. Andernfalls sollte man lieber mit einem handelsüblichen Rotameter
arbeiten.
E) Bei allen Untersuchungen
sollte von Anfang an das Temperaturproblem mit berücksichtigt werden! Hierzu
ist wahrscheinlich die ganze Anlage vom Puffervolumen an einschließlich
aller Rohre und Zuleitungen thermisch zu isolieren und die Temperatur längs
des Systems laufend zu überwachen, zumindest solange, bis maß weiß,
in welchem Umfange auf Dauer eine solche Stabilisierung und Überwachung
nötig ist.
F) Die von der Hypothek Klutke her
vorgegebene Sondenhalterung muss auf Dauer ersetzt werden. Wie steht es mit
Thermoelementen in einer Brückenschaltung – würde eine Funktion
zwischen w – T zustande kommen?
G) Ein weiteres offenes Problem ist die
Funktion Anströmgeschwindigkeit des Gases auf den Hitzdraht – Temperaturänderung
(Zeitkonstante) Wärmeübergang (an die Halterung).
H) Umschlagpunktuntersuchungen unter
Variation von Gas (Beimischung von Wasserdampf etc. und lokalen Hindernissen).
I) Die in den Experimenten
verwendeten Messanordnungen sind effektiv oder wenigstens im Stadium der Planung
soweit zu entwickeln, dass im Endzustand eine definierte Versuchsanlage zur
Verfügung steht. Eine evtl. abschließende Probemessung mit Gittern
ist durchzuführen.
3.
Zur Theorie
3.1. Grundlagen
Entwicklung der allgemeinen Durchflussgleichung.
Wird eine Rohrleitung vom Querschnitt A von einem Stoff der Dichte
und mit der mittleren Geschwindigkeit v vollständig und stationär
durchströmt, so ist der Durchfluss
als Volumenfluss.
Nach dem Kontinuitätsgesetz ist an jeder Stelle der durchströmten
Rohrleitung der Durchfluss konstant. Für die Drei in Abb. 1 gekennzeichneten
Punkte verschiedenen Querschnittes gilt also
d. h. die
Geschwindigkeit eines Stoffstromes ändert sich umgekehrt mit dem Querschnittsverhältnis
bzw. umgekehrt mit dem Quadrat des Durchmesserverhältnisses.
In einem geschlossenen, waagrecht verlaufenden System – als solches soll
Abb. 1 angesehen werden – und unter der Annahme, dass die Strömung
stationär und reibungsfrei verlaufen soll, ist die Energiesumme stets konstant,
d. h. eine Änderung der Geschwindigkeit, also der kinetischen Energie,
kann nur auf Kosten der potentiellen Energie erfolgen. Diese Erkenntnis wird
in der Bernoullischen Gleichung formuliert, welche besagt, dass die Summe aus
statischem Druck und dynamischen Druck konstant ist.
Bei Berücksichtigung der Rohrreibung, welche als Druckverlust auftritt,
d.h. eine verbrauchte Leistung darstellt, muss unterschieden werden zwischen
inkompressibler und kompressibler Fortleitung.
In dieser Arbeit wird die Strömung als inkompressibel angesehen, da die
auftretenden Strömungsgeschwindigkeiten diese Vernachlässigung zulassen
– bis auf eine Ausnahme, auf welche gesondert eingegangen wird.
Der Druckverlust ist proportional dem Verhältnis Leistungslänge zu
Leistungsdurchmesser und der kinetischen Energie. Der Proportionalitätsfaktor
ist die Rohrreibungszahl
Die Rohrreibungszahl ist abhängig von der Reynoldszahl Re, als auch von
der Rauhigkeit der Rohrwand. Die Reynoldszahl stellt das Verhältnis der
Trägheitskräfte zu den Viskositätskräften im Stoffstrom
dar und kennzeichnet die Strömungsform.
Gleichung 7) zeigt, dass die Re-Zahl bei einer maßstabgetreuen Verkleinerung
des Körpers erhalten bleibt, wenn die Strömungsgeschwindigkeit entsprechend
vergrößert oder die kinematische Viskosität verkleinert wird.
Daraus leitet man das Ähnlichkeitsgesetz ab, und er ergibt sich die Möglichkeit,
Strömungsversuche mit Modellen auszuführen.
Die weitere Abhängigkeit der Rohrreibungszahl von der Wandrauhigkeit wird
durch Einführung des Verhältnisses d/k berücksichtigt, wobei
k den Rauhigkeitswert in mm darstellt. Abb. 2 zeigt die Abhängigkeit der
Rohrreibungszahl l von Re und d/k. Zunächst ist bis zur kritischen Reynoldszahl
Rek 2.300 das laminare Strömungsgebiet eingetragen, in dem die Beziehung
nach Hagen-Poiseuille gilt
Beim Übergang in das turbulente Strömungsgebiet – nämlich
bei Re
> 2300- steigt l sprunghaft an und verläuft für völlig glattes
Rohr nach dem Gesetz von Prandtl-Karman
Um die zu entwickelnde Anlage datenmäßig voll zu erfassen,
ist es wichtig, die Widerstandszahl mit in diesen
Abschnitt einzubeziehen.
Denn die angegebene Druckverlustgleichung 6) hat eine gerade Rohrleitung unveränderlichen
Querschnitts zur Voraussetzung, die also die Strömungsrichtung unverändert
beibehält und die keine Rohreinbauten aufweist. In gekrümmten Rohren
mit Änderungen der Hauptbewegungsrichtung werden das Strömungsprofil
und die Druck-
Verteilung über den Rohrdurchmesser so verändert, dass Sekundär
Strömung mit Strahlablösung von der Rohrwand auftritt, die einen Zusätzlichen
Druckverlust zur Folge hat. Als Unterscheidung zu l
Eines geraden Rohres wird für diesen zusätzlichen Verlust die Widerstandszahl
eingeführt, sodass für den Druckverlust die Beziehung gilt
Dieser zusätzliche Widerstand kann also in eine äquivalente
Rohrlänge umgerechnet werden (siehe Abschnitt 2 A).
Um eine voll ausgebildete Rohrströmung zu erhalten, sei sie nun laminarer
oder turbulenter Art, ist eine gewisse Geradrohrlänge erforderlich, die
sogenannte Anlaufstrecke. Als solche bezeichnet man die Länge x, nach der
das Geschwindigkeitsprofil sich weniger als 1 % vom endgültigen Zustand
unterscheidet. Nach Schiller gilt
Im Gegensatz zu Schiller nehmen Tietjens und Boussinesq den größeren
Wert mit
an und begründen ihn mit der im Kern nicht reibungsfreien Strömung.
Gleichung 11) bzw. 12) geben die Anlaufstecken für Re < 2300 an (laminares
Gebiet). Im turbulenten Bereich verringert sich die Anlaufstrecke auf ca. 30
– 40 d. (Siehe Abschnitt 2 B).
Da die Anlage bevorzugt im laminaren Strömungsgebiet Messdaten liefern
soll, wird speziell auf diese Strömungsart noch kurz eingegangen. Die Strömung
haftet an der Rohrwand, die Geschwindigkeit ist dort gleich Null. In der Mitte
ist die Strömungsgeschwindigkeit maximal, und fällt stetig zur Wand,
d. h. bei laminarer Strömung haben die einzelnen Strömungsschichten
unterschiedliche Geschwindigkeiten und berechnen sich zu
Das Verhältnis von Gleichung 13) und 14)
zeigt die Geschwindigkeitsverteilung als Parabel, was durch diese IA messtechnisch
nachzuweisen ist.
Aus den obigen Gleichungen resultiert
Weiterhin lässt sich sagen, dass die mittlere Geschwindigkeit an der Stelle
Die Durchflussmenge Q ergibt sich dann als sogenanntes Gesetz von Hagen-Poiseuille
Der Druckverlust längs des Rohrweges l ist gleich,
sodass man bei Messung von D p direkt auf die Gestalt der parabolischen Geschwindigkeit
schließen kann, was nachzuweisen ist. (Siehe Abschnitt 2 C).
Gibt die Strömung Wärme an die Wand ab, so gilt das Poiseuillesche
Gesetz nicht mehr ganz. Insbesondere bei Flüssigkeiten, deren Zähigkeit
stark temperaturempfindlich ist, bilden sich dann an der Rohrwand Schichten
mit anderer Zähigkeit. Dieser Einfluss soll mit in die Überlegung
der IA einbezogen werden (Siehe Abschnitt 2 E).