Ingenieurarbeit - Bernd Joschko

1.    Aufgabenstellung
Es soll eine definierte Versuchsanlage erstellt werden, welche Strömungsgeschwindigkeitsmessungen im laminaren Bereich bis zum Umschlagpunkt zur Turbulenz ermöglicht, ebenso die Erfassung sämtlicher Druckanteile zulässt. Sie soll einsatzfähig sein für Profiluntersuchungen von Hindernissen, Verzweigungsproblemen, Messung von Widerstandszahlen etc. Die Messmöglichkeit mit aller zusammenhängenden Problematik soll optimiert werden.

2.    Problembeschreibung „Ziele“
A)         Zur Erzeugung eines konstanten Luftstromes muss ein Generator entwickelt werden. Anzufangen ist mit Pressluftquelle mit nachgeschaltetem Ausgleichsbehälter und anschließender Falschluftansaugung; dies ist gegebenenfalls technisch zu vervollkommnen oder zum stabilisierten Ventilator überzugehen.

B)         Auswahl und Untersuchung der optimalen Ein- und Auslaufgeometrien – optimal in Bezug auf eine möglichst große Unterbietung der Schillerschen Anlaufformel.

C)       Alle Druckanteile mit quantitativer Fehlerangabe zyklisch messen, und zwar zwischen Minimaldrücken („Null“) und Umschlagpunkt zur Turbulenz.

D)       Die bisher verwendeten Sonden sind zu optimieren – zunächst nur im Experimentalzustand, damit sukzessiv gemessen werden kann, dann im Hinblick auf den bezeichneten Endzustand. Die Methode der Hitzdrahtmessung kann sicher verbessert werden. Wenn die Linearität zwischen Geschwindigkeit und elektrischen Signal nachzuweisen wäre, könnte man die Eichung der Geschwindigkeit durch eine Gesamtverlustdruckmessung ersetzen. Die Eichung hat mit den zuletzt verwendeten Verfahren nur dann Sinn, wenn die Problematik der Größenordnung der Drucke und den zu erwartenden Fehlern mit größter Sorgfalt und Umsicht durchgeführt und auch rationalisiert wird, damit viele Eichungen in relativ angemessener Zeit durchgeführt werden können. Andernfalls sollte man lieber mit einem handelsüblichen Rotameter arbeiten.

E)         Bei allen Untersuchungen sollte von Anfang an das Temperaturproblem mit berücksichtigt werden! Hierzu ist wahrscheinlich die ganze Anlage vom Puffervolumen an einschließlich aller Rohre und Zuleitungen thermisch zu isolieren und die Temperatur längs des Systems laufend zu überwachen, zumindest solange, bis maß weiß, in welchem Umfange auf Dauer eine solche Stabilisierung und Überwachung nötig ist.

F)        Die von der Hypothek Klutke her vorgegebene Sondenhalterung muss auf Dauer ersetzt werden. Wie steht es mit Thermoelementen in einer Brückenschaltung – würde eine Funktion zwischen w – T zustande kommen?

G)      Ein weiteres offenes Problem ist die Funktion Anströmgeschwindigkeit des Gases auf den Hitzdraht – Temperaturänderung (Zeitkonstante) Wärmeübergang (an die Halterung).

H)       Umschlagpunktuntersuchungen unter Variation von Gas (Beimischung von Wasserdampf etc. und lokalen Hindernissen).

I)           Die in den Experimenten verwendeten Messanordnungen sind effektiv oder wenigstens im Stadium der Planung soweit zu entwickeln, dass im Endzustand eine definierte Versuchsanlage zur Verfügung steht. Eine evtl. abschließende Probemessung mit Gittern ist durchzuführen.

3.             Zur Theorie
3.1.          Grundlagen

Entwicklung der allgemeinen Durchflussgleichung.
Wird eine Rohrleitung vom Querschnitt A von einem Stoff der Dichte
und mit der mittleren Geschwindigkeit v vollständig und stationär durchströmt, so ist der Durchfluss

als Volumenfluss.

Nach dem Kontinuitätsgesetz ist an jeder Stelle der durchströmten Rohrleitung der Durchfluss konstant. Für die Drei in Abb. 1 gekennzeichneten Punkte verschiedenen Querschnittes gilt also

d. h. die Geschwindigkeit eines Stoffstromes ändert sich umgekehrt mit dem Querschnittsverhältnis bzw. umgekehrt mit dem Quadrat des Durchmesserverhältnisses.

In einem geschlossenen, waagrecht verlaufenden System – als solches soll Abb. 1 angesehen werden – und unter der Annahme, dass die Strömung stationär und reibungsfrei verlaufen soll, ist die Energiesumme stets konstant, d. h. eine Änderung der Geschwindigkeit, also der kinetischen Energie, kann nur auf Kosten der potentiellen Energie erfolgen. Diese Erkenntnis wird in der Bernoullischen Gleichung formuliert, welche besagt, dass die Summe aus statischem Druck und dynamischen Druck konstant ist.

Bei Berücksichtigung der Rohrreibung, welche als Druckverlust auftritt, d.h. eine verbrauchte Leistung darstellt, muss unterschieden werden zwischen inkompressibler und kompressibler Fortleitung.

In dieser Arbeit wird die Strömung als inkompressibel angesehen, da die auftretenden Strömungsgeschwindigkeiten diese Vernachlässigung zulassen – bis auf eine Ausnahme, auf welche gesondert eingegangen wird.
Der Druckverlust ist proportional dem Verhältnis Leistungslänge zu Leistungsdurchmesser und der kinetischen Energie. Der Proportionalitätsfaktor ist die Rohrreibungszahl

Die Rohrreibungszahl ist abhängig von der Reynoldszahl Re, als auch von der Rauhigkeit der Rohrwand. Die Reynoldszahl stellt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Viskositätskräften im Stoffstrom dar und kennzeichnet die Strömungsform.

Gleichung 7) zeigt, dass die Re-Zahl bei einer maßstabgetreuen Verkleinerung des Körpers erhalten bleibt, wenn die Strömungsgeschwindigkeit entsprechend vergrößert oder die kinematische Viskosität verkleinert wird. Daraus leitet man das Ähnlichkeitsgesetz ab, und er ergibt sich die Möglichkeit, Strömungsversuche mit Modellen auszuführen.
Die weitere Abhängigkeit der Rohrreibungszahl von der Wandrauhigkeit wird durch Einführung des Verhältnisses d/k berücksichtigt, wobei k den Rauhigkeitswert in mm darstellt. Abb. 2 zeigt die Abhängigkeit der Rohrreibungszahl l von Re und d/k. Zunächst ist bis zur kritischen Reynoldszahl Rek 2.300 das laminare Strömungsgebiet eingetragen, in dem die Beziehung nach Hagen-Poiseuille gilt

Beim Übergang in das turbulente Strömungsgebiet – nämlich bei Re
> 2300- steigt l sprunghaft an und verläuft für völlig glattes Rohr nach dem Gesetz von Prandtl-Karman

Um die zu entwickelnde Anlage datenmäßig voll zu erfassen, ist es wichtig, die Widerstandszahl mit in diesen Abschnitt einzubeziehen.
Denn die angegebene Druckverlustgleichung 6) hat eine gerade Rohrleitung unveränderlichen Querschnitts zur Voraussetzung, die also die Strömungsrichtung unverändert beibehält und die keine Rohreinbauten aufweist. In gekrümmten Rohren mit Änderungen der Hauptbewegungsrichtung werden das Strömungsprofil und die Druck-
Verteilung über den Rohrdurchmesser so verändert, dass Sekundär Strömung mit Strahlablösung von der Rohrwand auftritt, die einen Zusätzlichen Druckverlust zur Folge hat. Als Unterscheidung zu l
Eines geraden Rohres wird für diesen zusätzlichen Verlust die Widerstandszahl eingeführt, sodass für den Druckverlust die Beziehung gilt

Dieser zusätzliche Widerstand kann also in eine äquivalente Rohrlänge umgerechnet werden (siehe Abschnitt 2 A).
Um eine voll ausgebildete Rohrströmung zu erhalten, sei sie nun laminarer oder turbulenter Art, ist eine gewisse Geradrohrlänge erforderlich, die sogenannte Anlaufstrecke. Als solche bezeichnet man die Länge x, nach der das Geschwindigkeitsprofil sich weniger als 1 % vom endgültigen Zustand unterscheidet. Nach Schiller gilt

Im Gegensatz zu Schiller nehmen Tietjens und Boussinesq den größeren Wert mit

an und begründen ihn mit der im Kern nicht reibungsfreien Strömung.

Gleichung 11) bzw. 12) geben die Anlaufstecken für Re < 2300 an (laminares Gebiet). Im turbulenten Bereich verringert sich die Anlaufstrecke auf ca. 30 – 40 d. (Siehe Abschnitt 2 B).

Da die Anlage bevorzugt im laminaren Strömungsgebiet Messdaten liefern soll, wird speziell auf diese Strömungsart noch kurz eingegangen. Die Strömung haftet an der Rohrwand, die Geschwindigkeit ist dort gleich Null. In der Mitte ist die Strömungsgeschwindigkeit maximal, und fällt stetig zur Wand, d. h. bei laminarer Strömung haben die einzelnen Strömungsschichten unterschiedliche Geschwindigkeiten und berechnen sich zu

Das Verhältnis von Gleichung 13) und 14)

zeigt die Geschwindigkeitsverteilung als Parabel, was durch diese IA messtechnisch nachzuweisen ist.

Aus den obigen Gleichungen resultiert

Weiterhin lässt sich sagen, dass die mittlere Geschwindigkeit an der Stelle

Die Durchflussmenge Q ergibt sich dann als sogenanntes Gesetz von Hagen-Poiseuille

Der Druckverlust längs des Rohrweges l ist gleich,

sodass man bei Messung von D p direkt auf die Gestalt der parabolischen Geschwindigkeit schließen kann, was nachzuweisen ist. (Siehe Abschnitt 2 C).

Gibt die Strömung Wärme an die Wand ab, so gilt das Poiseuillesche Gesetz nicht mehr ganz. Insbesondere bei Flüssigkeiten, deren Zähigkeit stark temperaturempfindlich ist, bilden sich dann an der Rohrwand Schichten mit anderer Zähigkeit. Dieser Einfluss soll mit in die Überlegung der IA einbezogen werden (Siehe Abschnitt 2 E).